Question

【題目】如圖，在△ABC 中，點P是AC邊上的一點，過點P作與BC平行的直線PQ，交AB于點Q，點D在線段 BC上，連接AD交線段PQ于點E，且，點G在BC延長線上，∠ACG的平分線交直線PQ于點F．

（1）求證：PC＝PE；

（2）當P是邊AC的中點時，求證：四邊形AECF是矩形．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，等量代換得到，推出，于是得出結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PFC＝∠FCG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠PCF＝∠FCG，等量代換得到∠PFC＝∠FCG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到PF=PC，得到PF=PE，由已知條件得到AP=CP，推出四邊形AECF是平行四邊形，再證得∠ECF＝90°，于是得出結(jié)論.

（1）證明：∵PQ∥BC，

∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴PC＝PE；

（2）∵PF∥DG，

∴∠PFC＝∠FCG，

∵CF平分∠PCG，

∴∠PCF＝∠FCG，

∴∠PFC＝∠FCG，

∴PF＝PC，

∴PF＝PE，

∵P是邊AC的中點，

∴AP＝CP，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵PQ∥CD，

∴∠PEC＝∠DCE，

∴∠PCE＝∠DCE，

∴，

∴∠ECF＝90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．