Question

2．如圖，梯形OABC中，AB∥OC，BC所在的直線為y=x+12，點A坐標為
A （0，b），其中b＞0，點Q從點C出發(fā)經(jīng)點B到達點A，它在BC上的速度為每秒$\sqrt{2}$個單位，它在AB上的速度為每秒1個單位，點P從點C出發(fā)，在線段CO上來回運動，速度為每秒2個單位，當Q到達A點時，P也停止運動． P、Q兩點同時從C點出發(fā)，運動時間為t秒，過P作直線l垂直于x軸，如圖，若以BQ為半徑作⊙Q．
（1）當⊙Q第一次和x軸相切時，直接寫出t和b的關(guān)系式；（用t表示b）
（2）當Q在AB上運動時，若⊙Q和x軸始終沒有交點，求b的取值范圍；
（3）當b=4時，求直線l與⊙Q從第一次相切到第二次相切經(jīng)過的時間．

Answer 1

分析 （1）當⊙Q第一次和x軸相切時，設(shè)切點為N，作BM⊥x軸，垂足為M，連接QN，用t的代數(shù)式表示QC、QB，根據(jù)QC=$\sqrt{2}$QB解決問題．
（2）根據(jù)AB＜AO，列出關(guān)于b的不等式即可解決．
（3）根據(jù)題意在點P返回圖中與⊙Q相切，此時⊙Q在線段AB上，根據(jù)BM+AM=8列出關(guān)于t的方程解決．

解答 解：（1）當⊙Q第一次和x軸相切時，設(shè)切點為N，作BM⊥x軸，垂足為M，連接QN，
∵AB∥CO，BM∥AO，
∴四邊形AOMB是平行四邊形，
∵∠AOM=90°，
∴四邊形AOMB是矩形，
∴BM=AO=b，
∵直線BC為y=x+12，
∴C（-12，0），F(xiàn)（0，12），
∴OC=OF，
∴∠BCO=45°，
∵QC=$\sqrt{2}$t，QN⊥CN，
∴QB=QN=t，BC=$\sqrt{2}$b
∴$\sqrt{2}$t+t=$\sqrt{2}$b
b=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）t．
（2）當AB＜AO時⊙Q與x軸沒有交點，即0＜12-b＜b
∴6＜b＜12．
（3）第一次相切時，設(shè)切點為M，作QN⊥x軸，連接QM，
∵AO=4，
∴B（-8，4），BC=4$\sqrt{2}$
∵∠QNP=∠NPM=∠QMP=90°，
∴四邊形QNPM是矩形，
∴QB=QM=NP=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵PC=CN+NP，
∴2t=t+4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∴t=8-4$\sqrt{2}$，
由題意⊙Q和點P返回途中第二次相遇，如圖，設(shè)切點為M，
∵AM=2t-12，BM=2（t-4），AB=8
∴2t-12+2（t-4）=8
∴t=7，
∴直線l與⊙Q從第一次相切到第二次相切經(jīng)過的時間為7-（8-4$\sqrt{2}$）=（4$\sqrt{2}$-1）秒．

點評 本題考查一次函數(shù)、圓、直線與圓相切的判定、等腰梯形、矩形等有關(guān)知識，本題綜合性比較強，屬于運動類問題，根據(jù)題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．