Question

已知如圖，△ABC中，以AB為直徑作⊙O，交BC于D，交AC于E．過D點(diǎn)作⊙O的切線FG交AC于F，交AB的延長(zhǎng)線于G，連接AD．若AB：BG=3：1，F(xiàn)G⊥AC．
（1）求證：AD平分∠CAB；
（2）若GD=4，求BD；
（3）求AE：EF：FC．

Answer 1

（1）證明：∵GF是切線，
∴OD⊥GF
∴∠ODF=90°即∠ODA+∠ADF=90°
∵GF⊥AC
∴∠AFG=90°即∠ADF+∠DAC=90°
∴∠ODA=∠DAC
∵∠ODA=∠OAD
∴∠DAC=∠ODA
∴AD平分∠CAB；

（2）解：∵GD是⊙O的切線，由切割線定理得：
GD²=GB•GA
∵AB：BG=3：1，設(shè)AB=3x，則BG=x，
∴AG=4x
∴4²=4x•x
解得：x=2
∴GB=2，AB=6
∵△GBD∽△GDA
∴
設(shè)BD=y，AD=2y，在Rt△ABD中由勾股定理得：
y²+（2y）²=6²
解得：y=，即DB=．

（3）解：∵BE∥GF
∴，設(shè)AE=6K，EF=2K
∵AD平分∠CAB，AD⊥BC，可以證明△ABD≌△ACD
∴BD=CD，∵BE∥GF
∴EF=FC
∴FC=2K
∴AE：EF：FC=6K：2K：2K
∴AE：EF：FC=3：1：1．
分析：（1）因?yàn)镚F是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，得到OD⊥GF，可以得到∠ODA=∠DAC，又∠ODA=∠OAD而證明AD平分∠CAB．
（2）由切割線定理可以求出AB，BG，再利用三角形相似可以求出BD：AD的比值，最后利用勾股定理在Rt△ABD中求出BD的長(zhǎng)．
（3）證明了AD平分∠BAC，而AD⊥BC，可以證明BD=CD，又GF⊥AC得GF∥BE，得F為EC的中點(diǎn)，從而求出AE：EF：FC的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，圓周角定理，平行線等分線段定理等知識(shí)點(diǎn)．