Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C．
（1）若AB=4，∠P=30°，求AP的長；
（2）若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)切線的性質(zhì)判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函數(shù)的定義求得AP的長度；
（2）連接OC，OD、AC，構(gòu)建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的對應(yīng)角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．

解答 （1）解：∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°；
又∵AB=4，∠P=30°，
∴AP=$\frac{AB}{tan∠P}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=4$\sqrt{3}$；

（2）證明：如圖，連接OC，OD、AC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°；
又∵D為AP的中點(diǎn)，
∴AD=CD，
在△OAD和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{OD=OD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD，
又∵AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，
即直線CD是⊙O的切線．

點(diǎn)評 本題綜合考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)．正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．