Question

（2013•莆田）在Rt△ABC，∠C=90°，D為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在BC、AC邊上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于點(diǎn)F，NE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）特殊驗(yàn)證：如圖1，若AC=BC，且D為AB中點(diǎn)，求證：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如圖2，若D為AB中點(diǎn)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論有一個(gè)仍成立，請(qǐng)指出并加以證明；
②如圖3，若BD=kAD，條件中“點(diǎn)M在BC邊上”改為“點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上”，其它條件不變，請(qǐng)?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

分析：（1）如答圖1，連接CD，證明△AND≌△CMD，可得DM=DN；證明△NED≌△DFM，可得DF=NE，從而得到AE=NE=DF；
（2）①若D為AB中點(diǎn)，則分別證明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由線段比例關(guān)系可以證明AE=DF結(jié)論依然成立．證法二提供另外一種證明方法，可以參考；
②若BD=kAD，證明思路與①類似；證法二提供另外一種證明方法，可以參考．

解答：（1）證明：若AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形，

如答圖1所示，連接CD，則CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND與△CMD中，

∠1=∠2 AD=CD ∠A=∠DCM=45°

∴△AND≌△CMD（ASA），
∴DM=DN．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，
在△NED與△DFM中，

∠4=∠3 DN=DM ∠1=∠5

∴△NED≌△DFM（ASA），
∴NE=DF．
∵△ANE為等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．
證法一：由（1）證明可知：△DEN∽△MFD，
∴

DE

MF

=

EN

DF

，即MF•EN=DE•DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴

AE

MF

=

EN

BF

，即MF•EN=AE•BF．
∴DE•DF=AE•BF，
∴（AD-AE）•DF=AE•（BD-DF），
∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．
證法二：如答圖2所示，過點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P，DQ⊥AC于點(diǎn)Q．

∵D為AB中點(diǎn)，
∴DQ=PC=PB．
易證△DMF∽△NDE，∴

DF

NE

=

DM

DN

，
易證△DMP∽△DNQ，∴

DM

DN

=

DP

DQ

=

DP

PB

，
∴

DF

NE

=

DP

PB

；
易證△AEN∽△DPB，∴

AE

NE

=

DP

PB

，
∴

DF

NE

=

AE

NE

，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．
證法一：由①同理可得：DE•DF=AE•BF，
∴（AE-AD）•DF=AE•（DF-BD）
∴AD•DF=AE•BD
∵BD=kAD
∴DF=kAE．
證法二：如答圖3，過點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P，DQ⊥AC于點(diǎn)Q．

易證△AQD∽△DPB，得

DQ

PB

=

AD

BD

=

1

k

，即PB=kDQ．
由①同理可得：

DM

DN

=

DP

DQ

=

DF

NE

，
∴

DF

NE

=

kDP

PB

；
又∵

AE

NE

=

DP

PB

，
∴

DF

NE

=

kAE

NE

，
∴DF=kAE．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何探究與證明綜合題，考查了相似三角形與全等三角形的判定與性質(zhì)．題中三個(gè)結(jié)論之間逐級(jí)遞進(jìn)，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．