Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=2，AB=3，AD=7，在線段AD上能否找到一個(gè)點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、B為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)P、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似？若能，共有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)P？并求相應(yīng)的PD的長(zhǎng)；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：能相似．
如圖：∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，
∴∠A=∠D=90°，
設(shè)PD=x，
∵CD=2，AB=3，AD=7，
則PA=AD-PD=7-x，
∴①當(dāng)時(shí)，△PCD∽△PBA，
則，
解得：x=，
∴PD=；
②當(dāng)時(shí)，△PCD∽△BPA，
則，
解得：x=1或x=6，
∴PD=1或6，
∴這樣的點(diǎn)有3個(gè)，PD的長(zhǎng)為或1或6．
分析：分別從①當(dāng)時(shí)，△PCD∽△PBA，②當(dāng)時(shí)，△PCD∽△BPA，去分析求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．