Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，3）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸是x=－1．

（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動(dòng)點(diǎn)Ｑ從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OA上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M從O點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段OB上運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)Ｑ作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒

①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPＱ為矩形；

②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－－2x+3；（2）①t=；②t=秒或秒或秒．

【解析】試題分析：（1）將拋物線解析式設(shè)成頂點(diǎn)式，然后將（1，0）和（0，3）代入求出函數(shù)解析式；（2）將x=t代入二次函數(shù)解析式，從而得出PQ的長(zhǎng)度，然后根據(jù)PQ=OM得出方程，求出t的值；（3）首先求出直線AB的解析式，從而得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出ON的長(zhǎng)度，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分OA=ON，ON=AN，AN=AO三種情況分別求出t的值．

試題解析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）2+k，

將（1，0），（0，3）代入，得，解得a=－1，k=4，所以拋物線的解析式為y=－x2－2x+3；

（2）①將x=t，代入y=－x2－2x+3得y=－t2－2t+3，即PQ=－t2－2t+3，當(dāng)PQ=OM時(shí)四邊形OMPQ為矩形，即3t=－t2－2t+3，解得t1=，t2=（舍去），所以當(dāng)t=時(shí)，四邊形OMPQ為矩形-

②△AON能為等腰三角形

理由如下：

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將（1，0）（0，3）代入，得，解得k=－3，b=3，

所以AB的解析式為y=－3x+3，將x=t代入，得y=－3t+3，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，－3t+3），

ON=

（Ⅰ）當(dāng)OA=ON時(shí)，△AON是等腰三角形，即1=，解得t1=1（舍去），t2=．

（Ⅱ）當(dāng)ON=AN時(shí)，△AON是等腰三角形，因?yàn)?/span>NQ⊥x軸，所以當(dāng)OQ=QA，即當(dāng)t=時(shí)，△AON是等腰三角形

（Ⅲ）當(dāng)AN=AO時(shí)，AN2=NQ2+AQ2=（－3t+3）2+（1－t）2，

即（－3t+3）2+（1－t）2=1，解得t1=，t2=＞1，舍去．

綜上，當(dāng)t為秒，秒，秒時(shí)，△AON是等腰三角形．