Question

12．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB為直徑作⊙O，恰與一邊CD相切于點(diǎn)E，連接OD、OC．若四邊形ABCD的面積是48，設(shè)OD=x，OC=y，且x+y=14；
（1）求證：∠DOC=90°；
（2）求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由切線的性質(zhì)可知OE⊥DC，由HL可判定△OEC≌△OBC，從而可得到∠BCO=∠ECO，同理可證明∠ADO=∠EDO，從而可證明∠ODC+∠OCD=90°，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠DOC=90°；
（2）S_梯形ABCD=2S_△COD，求出xy=48，結(jié)合x+y=14可求得x²+y²=100，從而得到CD=10．

解答 解：（1）如圖所示：連接OE．

∵DC是圓O的切線，
∴OE⊥DC．
在Rt△OEC和Rt△OBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OB}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEC≌Rt△OBC．
∴∠BCO=∠ECO．
∴∠OCD=$\frac{1}{2}∠BCD$．
同理：∠EDO=$\frac{1}{2}∠ADC$．
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠DCB=180°．
∴∠OCD+∠EDO=$\frac{1}{2}$×180°=90°．
∴∠DOC=90°．
（2）∵S_△DEO=S_△DAO，S_△OCE=S_△COB，
∴S_梯形ABCD=2（S_△DOE+S_△COE）=2S_△COD=OC•OD=48，即xy=48．
又∵x+y=1
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=14²-2×48=100，
在Rt△COD中，CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=10，
∴CD=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意求得x²+y²=100是解題的關(guān)鍵．