Question

矩形ABCD一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處．

圖1 圖2

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．

① 求證：△OCP∽△PDA；② 若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)．

（2）如圖2，在（1）的條件下，擦去AO和OP，連接BP．動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（不與點(diǎn)P、A重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，且BN=PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，求出線段EF的長(zhǎng)度；若變化，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明略，（2）線段EF的長(zhǎng)度不變化，.

【解析】

試題分析：（1）由折疊可得∠APO=∠B=90°，利用同角的余角相等即可證明，有面積比可知相似比

在Rt△PCO中應(yīng)用勾股定理即可求出AB；

（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2．證明出EQ=PQ，QF=QB即可求出EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

再有勾股定理求出PB即可求出BF.

試題解析：（1）① 如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．

∴∠1+∠3=90°． ∵由折疊可得∠APO=∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°．∴∠2=∠3．

又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA．

② 如圖1，∵△OCP與△PDA的面積比為1：4， ∴． ∴CP=AD=4．

設(shè)OP=x，則CO=8－x．在Rt△PCO中，∠C=90°， 由勾股定理得 x2=(8－x)2+42．

解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10． ∴邊AB的長(zhǎng)為10．

（2）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2． ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ．又BN=PM， ∴BN=QM．

∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ=PQ．

∵M(jìn)Q∥AN，∴∠QMF=∠BNF．又∵∠QFM=∠NFB， ∴△MFQ≌△NFB．∴QF=QB．

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB=， ∴EF=PB=．

∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度不變，它的長(zhǎng)度為．

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì).