Question

如圖，拋物線過x軸上兩點A（9，0），C（-3，0），且與y軸交于點B（0，-12）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位沿射線AC方向運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以每秒1個單位沿射線BA方向運動，當點P到達點C處時，兩點同時停止運動．問當t為何值時，△APQ∽△AOB？
（3）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．
①是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
②當點M運動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形CBNA面積的最大值．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）設二次函數解析式為交點式：y=a（x+3）（x-9）（a≠0）．然后把點B的交點坐標代入來求a的值；
（2）利用相似三角形的對應邊成比例得到：

AP

AO

=

AQ

AB

．然后把相關線段的長度代入即可求得t的值；
（3）①利用待定系數法求得直線AB的解析式為：y=

4

3

x-12．設點M的橫坐標為x，則M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
 ①若四邊形OMNB為平行四邊形，則對邊相等：MN=OB=12，（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12，根據△＜0可以推知不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．
②利用“分割法”得到：S_{四邊形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN=72+S_△ABN，S_△AOB=54，S_△OBN=6x，S_△OAN=

1

2

•9•|y_N|=-2x²+12x+54，則
S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=-2（x-

9

2

）²+

81

2

，所以由二次函數圖象的性質求得當x=

9

2

時，S_△ABN 最大值=

81

2

，所以S_{四邊形CBNA最大}=

225

2

．

解答：（1）因拋物線過x軸上兩點A（9，0），C（-3，0）
故設拋物線解析式為：y=a（x+3）（x-9）（a≠0）．
又∵B（0，-12）
∴-12=-27a
∴a=

4

9

      
y=

4

9

（x+3）（x-9）=

4

9

x²-

8

3

x-12；

 （2）如圖1，∵B（0，-12），A（9，0），
∴OB=12，OA=9，
∴由勾股定理得到：AB=

122+92

=15．
AP=2t，AQ=15-t，易求AC=12，
∴0≤t≤6
∵△APQ∽△AOB，則

AP

AO

=

AQ

AB

，即

2t

9

=

15-t

15

，
，解得，t=

45

13

．
∴當t=

45

13

時，△APQ∽△AOB；

（3）如圖2，設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0）．
∵B（0，-12），A（9，0），
∴

b=-12 0=9x+b

，
解得，

k= 4 3 b=-12

，
則直線AB的函數關系式為y=

4

3

x-12．
設點M的橫坐標為x，則M（x，

4

3

x-12），N（x，

4

9

x²-

8

3

x-12）．
 ①若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN=OB=12
∴（

4

3

x-12）-（

4

9

x²-

8

3

x-12）=12                   
即x²-9x+27=0
∵△＜0，∴此方程無實數根，
∴不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．
②∵S_{四邊形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN=72+S_△ABN
∵S_△AOB=54，S_△OBN=6x，S_△OAN=

1

2

•9•|y_N|=-2x²+12x+54
∴S_△ABN=S_△OBN+S_△OAN-S_△AOB=6x+（-2x²+12x+54）-54
=-2x²+18x=-2（x-

9

2

）²+

81

2

∴當x=

9

2

時，S_△ABN 最大值=

81

2

此時M（

9

2

，-6），
S_{四邊形CBNA最大}=

225

2

．

點評：本題考查了二次函數綜合題．用待定系數法求函數的解析式時要靈活地根據已知條件選擇配方法和公式法．求拋物線的最值的方法是配方法．