Question

19．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則PM的最小值為（　�。�

• A． 1.2
• B． 1.3
• C． 1.4
• D． 2.4

Answer 1

分析 先求證四邊形AFPE是矩形，再根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得AP最短時(shí)的長，然后即可求出PM最短時(shí)的長．

解答 解：連結(jié)AP，如圖所示：
∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M(jìn)是EF的中點(diǎn)，
∴PM=$\frac{1}{2}$AP，
根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上任一點(diǎn)的距離，垂線段最短，
即AP⊥BC時(shí)，AP最短，同樣PM也最短，
∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP=$\frac{3×4}{5}$=2.4，
∴AP最短時(shí)，AP=2.4，
∴當(dāng)PM最短時(shí)，PM=$\frac{1}{2}$AP=1.2．
故選A．

點(diǎn)評 此題主要考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；由直角三角形的面積求出AP是解決問題的關(guān)鍵．