Question

8．某大學(xué)生利用業(yè)余時(shí)間參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營(yíng)，銷售一種成本為30元/件的文化衫，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，他整理出這種文化衫的售價(jià)y₁（元/件），銷量y₂（件）與第x（1≤x＜90）天的函數(shù)圖象如圖所示（銷售利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷量）
（1）求y₁與y₂的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求每天的銷售利潤(rùn)w與x的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；
（3）銷售這種文化衫的第多少天，每天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析 （1）待定系數(shù)法分別求解可得；
（2）根據(jù)：銷售利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×銷量，分1≤x＜50、50≤x＜90兩種情況分別列函數(shù)關(guān)系式可得；
（3）當(dāng)1≤x＜50時(shí)，將二次函數(shù)關(guān)系式配方后依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得此時(shí)最值情況，當(dāng)50≤x＜90時(shí)，依據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得最值情況，比較后可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)1≤x＜50時(shí)，設(shè)y₁=kx+b，
將（1，41）、（50，90）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=41}\\{50k+b=90}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=40}\end{array}\right.$，
∴y₁=x+40，
當(dāng)50≤x＜90時(shí)，y₁=90，
故y₁與x的函數(shù)關(guān)系式為：y₁=$\left\{\begin{array}{l}{x+40}&{（1≤x＜50）}\\{90}&{（50≤x＜90）}\end{array}\right.$；
設(shè)y₂與x的函數(shù)關(guān)系式為：y₂=mx+n （1≤x＜90），
將（50，100）、（90，20）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{50m+n=100}\\{90m+n=20}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=200}\end{array}\right.$，
故y₂與x的函數(shù)關(guān)系式為：y₂=-2x+200（1≤x＜90）；

（2）由（1）知，當(dāng)1≤x＜50時(shí)，
W=（x+40-30）（-2x+200）=-2x²+180x+2000；
當(dāng)50≤x＜90時(shí)，
W=（90-30）（-2x+200）=-120x+12000；
綜上，W=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+180x+2000}&{（1≤x＜50）}\\{-120x+12000}&{（50≤x＜90）}\end{array}\right.$；

（3）當(dāng)1≤x＜50時(shí)，∵W=-2x²+180x+2000=-2（x-45）²+6050，
∴當(dāng)x=45時(shí)，W取得最大值，最大值為6050元；
當(dāng)50≤x＜90時(shí)，W=-120x+12000，
∵-120＜0，W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=50時(shí)，W取得最大值，最大值為6000元；
綜上，當(dāng)x=45時(shí)，W取得最大值6050元，
答：銷售這種文化衫的第45天，每天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用，由自變量的范圍分情況依據(jù)相等關(guān)系建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．