Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB在x軸上，且OA＞OB，以AB為直徑的圓過點(diǎn)C．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），AB=5，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)x_A，x_B是關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+n-1=0的兩根．
（1）求m，n的值；
（2）若∠ACB平分線所在的直線l交x軸于點(diǎn)D，試求直線l對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式；
（3）過點(diǎn)D任作一直線l′分別交射線CA，CB（點(diǎn)C除外）于點(diǎn)M，N．則

1

CM

+

1

CN

的是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的性質(zhì)可知△AOC∽△COB，則CO²=AO•BO，4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
即x_A=-4，x_B=1．再利用根與系數(shù)的關(guān)系代入兩根和與兩根之積的關(guān)系式中求解可知m=-5，n=-3．
（2）過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，可證明△AED∽△ACB，利用成比例線段求得OD=

2

3

，即D（-

2

3

，0），利用待定系數(shù)法求出直線l對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為：y=3x+2．
（3）過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．因?yàn)镃D為∠ACB的平分線，所以DE=DF．由△MDE∽△MNC，有

DE

CN

=

MD

MN

，由△DNF∽△MNC，有

DF

CM

=

DN

MN

，得到

DE

CN

+

DF

CM

=

MD

MN

+

DN

MN

=1，即

1

CM

+

1

CN

=

1

DE

=

3 5

10

．

解答：解：（1）∵以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，∴∠ACB=90°，而點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
由CO⊥AB易知△AOC∽△COB，∴CO²=AO•BO，（1分）
即：4=AO•（5-AO），解之得：AO=4或AO=1．
∵OA＞OB，∴AO=4，
即x_A=-4，x_B=1．（2分）
由根與系數(shù)關(guān)系有：

xA+xB=m+2 xA•xB=n-1

，
解之m=-5，n=-3．（4分）

（2）如圖，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，易知DE⊥AC，且∠ECD=∠EDC=45°，
在△ABC中，易得AC=2

5

，BC=

5

，（5分）
∵DE∥BC，∴

AD

DB

=

AE

EC

，∵DE=EC，∴

AD

BD

=

AE

DE

，
又△AED∽△ACB，有

AE

ED

=

AC

BC

，∴

AD

DB

=

AC

BC

=2，（6分）
∵AB=5，設(shè)BD=x，則AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=

5

3

，
則OD=

2

3

，即D（-

2

3

，0），（7分）
易求得直線l對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為：y=3x+2．（8分）
解法二：過D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F，
由S_△ACD+S_△BCD=S_△ABC′
求得DE=

2

3

5

．（5分）
又S_△BCD=

1

2

BD•CO=

1

2

BC•DF，
求得BD=

5

3

，DO=

2

3

．（7分）
即D（-

2

3

，0），
易求得直線l對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為：y=3x+2．（8分）

（3）過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，DF⊥CN于F．
∵CD為∠ACB的平分線，∴DE=DF．
由△MDE∽△MNC，有

DE

CN

=

MD

MN

，（9分）
由△DNF∽△MNC，有

DF

CM

=

DN

MN

． （10分）
∴

DE

CN

+

DF

CM

=

MD

MN

+

DN

MN

=1，（11分）
即

1

CM

+

1

CN

=

1

DE

=

3 5

10

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活地運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．