解:(Ⅰ)∵拋物線與x軸的負半軸交于點A,與y軸的正半軸交于點B,若c=2,
,
∴tan∠ABO=
=
,
∴A(-1,0),
代入解析式y(tǒng)
2=x
2+ax+c,
∴0=1-a+2,
∴a=3,
∴y
2=x
2+3x+2;
(Ⅱ)∵c>0,
∴y
2-y
1=x
2+ax+c-[(a+1)x-1],
=(x-
)
2+
+c,
y
2-y
1>0,
∴在實數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個值,直線與拋物線對應的y
1<y
2均成立;
(Ⅲ)當a=-1時,拋物線為y
2=x
2-x+c,且與x軸有公共點.
對于方程x
2-x+c=0,判別式△=1-4c≥0,有c≤
.
①當 c=
時,由方程x
2-x+
=0,解得x
1=x
2=
.
此時拋物線與x軸只有一個公共點(
,0);
②當 c<
時,x
1=-1時,y
1=2+c;
x
2=4時,y
2=12+c.
由已知-1<x<4時,該拋物線與x軸有公共點,考慮其對稱軸為 x=
,
應有 即
解得-12<c≤-2.
綜上,c=
或-12<c≤-2.
分析:(Ⅰ)根據(jù)tan∠ABO=
=
的值代入可得拋物線的解析式;
(Ⅱ)根據(jù)y
2-y
1=x
2+ax+c-[(a+1)x-1],直接化簡配方即可得出答案;
(Ⅲ)把a代入解析式可得△=1-4c≥0,等于0時可直接求得c的值;求出y的相應的值后可得c的取值范圍.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及圖象與坐標軸有交點的條件,根據(jù)不等式的性質以及判別式得出c的取值范圍是解決問題的關鍵.