Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．連接BD，過A點作BD的垂線，交BC于E．
（1）求證：四邊形ABED是菱形；
（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEB，
又∵AB=AD，AO⊥BD，
∴OB=OD，
又∵∠AOD=∠EOB，
∴△ADO≌△EBO（AAS），
∴AD=EB，
又∵AD∥BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∵AB=AD
∴四邊形ABED是菱形．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DE=BE，
在RT△CDE中，由勾股定理得
DE²=CD²+CE²=4²+3²=25，
∴DE=5，
∴AD=BE=5，
∴S_梯形ABCD=．
分析：（1）根據(jù)AD∥BC得出∠OAD=∠OEB，然后結(jié)合題意可證明△ADO≌△EBO，從而可得AD=EB，這樣結(jié)合AB=AD即可判斷出四邊形ABED是菱形．
（2）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得出AD=DE=BE，在RT△CDE中，由勾股定理得DE，然后利用梯形的面積公式即可求解．
點評：本題考查了梯形、勾股定理及菱形判定的知識，屬于綜合性題目，有一定難度，對于此類題目，一定要熟記①梯形的上底平行于下底，②有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．