Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)G是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G不與A、C重合），以AG為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BD，垂足為F，EF交BC于點(diǎn)E，連結(jié)DE.

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若cosA=,AB=，AG=，求BE的長(zhǎng)；

(3)若cosA=,AB=，直接寫出線段BE的取值范圍.

  

Answer 1

解：(1)連結(jié)OD

∵OA=OD    

∴∠A=∠ODA               

∵EF垂直平分BD

∴ED=EB               

∴∠B=∠EDB              

∵∠C=90°

∴∠A+∠B=90°             

∴∠ODA+∠EDB=90°        

∴∠ODE=90°                                           第23題圖

∴ DE⊥OD          

∴DE是⊙O的切線      

(2) ∵ AG=，∴AO=

∵cosA=,∴∠A=60°

又∵OA=OD

∴△OAD是等邊三角形

∴AD=AO=              

∴BD=AB-AD=-=  

∵直線EF垂直平分BD

∴BF =BD=     

∵∠C=90°，∠A=60°∴∠B=30°

∴BE==7          

（3）6＜BE＜8