Question

12．在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)P是矩形ABCD邊上的一點(diǎn)．連接AP與矩形的對角線BD交于點(diǎn)E，且△PAB為等腰三角形，過E作EF∥AD交AB于點(diǎn)F，請你畫出圖形并直接寫出線段EF的長．

Answer 1

分析 ①P在BC上時；根據(jù)題意畫出圖形，由矩形的性質(zhì)得出∠ABP=90°，AD∥BC，證出△ADE∽△PBE，得出對應(yīng)邊成比例$\frac{AE}{PE}=\frac{AD}{PB}$，由等腰三角形的性質(zhì)得出$\frac{AE}{AP}$=$\frac{3}{5}$，由平行線得出$\frac{EF}{PB}$=$\frac{AE}{AP}$，即可得出結(jié)果；②當(dāng)P在CD上時，同①得出結(jié)果．

解答 解：①P在BC上時，如圖所示
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABP=90°，AD∥BC，
∴△ADE∽△PBE，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{AD}{PB}$，
∵△ABP是等腰三角形，
∴PB=AB=2，
∴$\frac{AE}{PE}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AE}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
∵EF∥AD交AB于點(diǎn)F，
∴$\frac{EF}{PB}$=$\frac{AE}{AP}$=，即$\frac{EF}{2}$=$\frac{3}{5}$，
∴EF=$\frac{6}{5}$；
②當(dāng)P在CD上時，同①得：EF=$\frac{2}{3}$AD=2；
綜上所述：EF的長為$\frac{6}{5}$或2．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、比例的性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．