Question

已知：如圖，在等邊三角形ABC中，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，D是MN上任意一點(diǎn)，CD、BD的延長線分別與AB、AC交于F、E，若

1

CE

+

1

BF

=

1

a

（a＞0），則△ABC的邊長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：作輔助線構(gòu)造兩對(duì)相似三角形，借助等邊三角形的性質(zhì)分別求出

1

CE

、

1

BF

關(guān)于邊長m的代數(shù)式，問題即可解決．

解答：解：過點(diǎn)D分別作DP∥AB，DQ∥AC，交BC于點(diǎn)P、Q；
∵點(diǎn)M、N分別為AB、AC邊的中點(diǎn)，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC；
∴四邊形DMBP、四邊形DNCQ分別是平行四邊形，
∴BP=DM，CQ=DN，
∴BP+CQ=MN=

1

2

BC，PQ=BC-

1

2

BC=

1

2

BC（設(shè)為m）
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°；
而∠DPQ=∠ABC=60°，∠DQP=∠ACB=60°，
∴△DPQ是等邊三角形，DP=DQ=PQ=

1

2

m；
∵DQ∥AC，
∴

DQ

CE

=

BQ

BC

，

1

CE

=

BQ

DQ•BC

=

2BQ

m2

；
同理可證：

1

BF

=

2CP

m2

；
∴

1

CE

+

1

BF

=

2(BQ+CP)

m2

，
而BQ+CP=（BQ+CQ）+PQ=m+

1

2

m=

3

2

m，
∴

1

CE

+

1

BF

=

3

m

；
又∵

1

CE

+

1

BF

=

1

a

，
∴

3

m

=

1

a

，m=3a；
即△ABC的邊長為3a．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造相似三角形；對(duì)綜合運(yùn)用能力提出了較高的要求．