Question

如圖，在?ABCD，AE⊥BC，交BC于點E，AF⊥DC，交DC于點F，
（1）求證：△ABE∽△ADF；
（2）探討：△AEF∽△ABC是否成立，并說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：

分析：（1）先根據平行四邊形的性質求出∠B=∠D，再由AE⊥BC，AF⊥DC，故可得出結論；
（2）先根據平行四邊形的性質得出∠BAC=∠DCA，再由AE⊥BC，AF⊥DC可知A、E、C、F四點共圓，故可得出∠DCA=∠AEF，∠AFE=∠ACE，故可得出結論．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD，
∴△ABE∽△ADF；

（2）當BC=AC時，△AEF∽△ABC是成立．
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAC=∠DCA．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴A、E、C、F四點共圓，
∴∠DCA=∠AEF，∠AFE=∠ACE，
∴∠AEF=∠BAC，∠AFE=∠ACB，
∴△AEF∽△BAC，
∵BC=AC，
∴∠B=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．

點評：本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解答此題的關鍵．