Question

如圖，在?ABCD，AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，AF⊥DC，交DC于點(diǎn)F，
（1）求證：△ABE∽△ADF；
（2）探討：△AEF∽△ABC是否成立，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：

分析：（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出∠B=∠D，再由AE⊥BC，AF⊥DC，故可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠BAC=∠DCA，再由AE⊥BC，AF⊥DC可知A、E、C、F四點(diǎn)共圓，故可得出∠DCA=∠AEF，∠AFE=∠ACE，故可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB=∠AFD，
∴△ABE∽△ADF；

（2）當(dāng)BC=AC時(shí)，△AEF∽△ABC是成立．
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAC=∠DCA．
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠DCA=∠AEF，∠AFE=∠ACE，
∴∠AEF=∠BAC，∠AFE=∠ACB，
∴△AEF∽△BAC，
∵BC=AC，
∴∠B=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．

點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解答此題的關(guān)鍵．