Question

（1）已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為x₁=1，x₂=2．當x=3時，y=4，求這個函數的關系式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標．
（2）一變：已知二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸兩交點間的距離為1，對稱軸為x=

3

2

，且當x=3時，y=4．求這個函數的關系式，并寫出圖象的頂點坐標和最值．

Answer 1

分析：（1）先設出二次函數的解析式為：y=ax²+bx+c，由題意二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標為x₁=1，x₂=2．當x=3時，y=4，知二次函數過點（1，0），（2，0），（3，4），代入函數解析式，根據待定系數法求出函數的解析式，再將函數一般式化為頂點式，寫出它的對稱軸和頂點坐標．
（2）由題意二次函數y=ax²+bx+c的圖象與x軸兩交點間的距離為1，對稱軸為x=

3

2

，且當x=3時，y=4，再根據待定系數法求出函數解析式，由函數的性質求出最值．

解答：解：∵兩個交點橫坐標為x₁=1，x₂=2，
∴這兩個交點坐標為（1，0），（2，0）．
把點（1，0），（2，0），（3，4）分別代入函數：y=ax²+bx+c，
得

a+b+c=0 4a+2b+c=0 9a+3b+c=4

，
解得

a=2 b=-6 c=4

∴函數的關系式為：y=2x²-6x+4．
∵=2x²-6x+4=2(x-

3

2

)2-

1

2

，
∴頂點為(

3

2

，-

1

2

)，對稱軸為直線x=

3

2

．

（1）∵拋物線與x軸兩交點間距離為1，對稱軸為x=

3

2

，
∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為（1，0），（2，0）．
于是把（1，0），（2，0），（3，4）分別代入y=ax²+bx+c，
得

a+b+c=0 4a+2b+c=0 9a+3b+c=4

，
解得

a=2 b=-6 c=4

，
∴函數的關系式為：y=2x²-6x+4．
∵y=2x²-6x+4=2(x-

3

2

)2-

1

2

，
∴頂點為(

3

2

，-

1

2

)，
∵a=2＞0，
∴函數有最小值，當x=

3

2

時，y_最小值=-

1

2

．

點評：此題主要考查函數圖象的性質、對稱軸、頂點坐標及函數的最值，另外此題解方程組比較麻煩，側面考查學生的計算能力．