Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b）（b
＞0）．P是直線AB上的一個動點(diǎn)，作PC⊥x軸，垂足為C．記點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P′（點(diǎn)P′不在y軸上），連結(jié)PP′，P′A，P′C．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a．
（1）當(dāng)b=3時，若點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（-1，m），求m的值；
（2）若點(diǎn)P在第一象限，記直線AB與P′C的交點(diǎn)為D，當(dāng)P′D：P′C=1：4時，求a的值；
（3）s是否同時存在a、b，使△P′CA為等腰直角三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法先求出直線AB，再根據(jù)點(diǎn)P橫坐標(biāo)是-1代入直線AB解析式即可求解．
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出方程即可解決．
（3）分兩種情形討論即可：①如圖2中，P′A=P′C，∠AP′C=90°，作P′H⊥AC，垂足為H，先證明四邊形四邊形PCHP′是正方形，然后列出方程解決．
②如圖3中，∠CAP′=90°，AC=AP′，只要證明四邊形PCAP′是正方形即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)直線AB為y=kx+b，由題意：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
所以直線AB為：y=$\frac{3}{4}$x+4，
當(dāng)x=-1時．y=-$\frac{3}{4}$+4=$\frac{13}{4}$，所以m=$\frac{13}{4}$．
（2）如圖1中，∵P′D：P′C=1：4，
∴P′D：DC=1：3，
∵PP′∥AC，
∴$\frac{PP′}{AC}=\frac{P′D}{DC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2a}{4+a}=\frac{1}{3}$，
∴a=$\frac{4}{5}$．
（3）存在，理由如下：
∵點(diǎn)P′不在y軸上，
∴∠P′CA≠90°
∴有兩種情形：①如圖2中，P′A=P′C，∠AP′C=90°，作P′H⊥AC，垂足為H，
∵P′H=P′C，P′H⊥AC，∠AP′C=90°
∴AH=HC=P′H，
∵P′H=CP，P′H∥PC，
∴四邊形PCHP′是平行四邊形，
∵P′H=HC，∠P′′HC=90°
∴四邊形PCHP′是正方形，
∴PP′=HC，AC=2PP′，
∴4+a=4a，
∴a=$\frac{4}{3}$，PC=P′H=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{8}{3}$，
∴點(diǎn)P（$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
∵OB∥PC，
∴$\frac{BO}{PC}=\frac{AO}{AC}$，
∴$\frac{BO}{\frac{8}{3}}=\frac{4}{\frac{16}{3}}$，
∴BO=2，
∴a=$\frac{4}{3}$，b=2．
②如圖3中，∠CAP′=90°，AC=AP′，
∵PC∥P′A，PC=P′A，
∴四邊形PCAP′是平行四邊形，
∵P′A=AC，∠P′AC=90°
∴四邊形PCAP′是正方形，
∴PP′=AC，AC=2PP′，
∴2a=4+a，
∴a=4，
∴AC=PC=8，
∵AO=OC=4，OB∥PC，
∴OB=$\frac{1}{2}$PC=4，
∴a=b=4．
綜上所述：a=$\frac{4}{3}$，b=2或a=b=4時△ACP′是等腰直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)，學(xué)會用分類討論的思想是解決問題，正確畫出圖象是解決第三個問題的關(guān)鍵．