Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，BD=BF．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BC=12，AD=8，求

DE

的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,弧長(zhǎng)的計(jì)算

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OE、BE，由BD為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得∠BED=90°，由于BD=BF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得DE=EF，可得OE為△DBF的中位線，所以O(shè)E∥BF，由于∠ACB=90°，則∠OEA=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則BD=2R，OE=R，利用OE∥BC可判斷△AOE∽△ABC，根據(jù)相似比可得

R+8

2R+8

=

R

12

，解得R₁=8，R₂=-6（舍去），則AO=AD+OD=16，OE=8，在Rt△AOE中，利用余弦的定義和特殊角的三角函數(shù)值得到∠AOE=60°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算

DE

的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：連結(jié)OE、BE，如圖，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BED=90°，
∴BE⊥DF，
∵BD=BF，
∴DE=EF，
而OD=OB，
∴OE為△DBF的中位線，
∴OE∥BF，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，則BD=2R，OE=R，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴

AO

AB

=

OE

BC

，即

R+8

2R+8

=

R

12

，解得R₁=8，R₂=-6（舍去），
∴AO=AD+OD=16，OE=8，
在Rt△AOE中，cos∠AOE=

8

16

=

1

2

，
∴∠AOE=60°，
∴

DE

的長(zhǎng)度=

60•π•8

180

=

8

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和弧長(zhǎng)公式．