Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P為CB延長線上一點，過B、C兩點分別作直線AP的垂線BE、CF，E、F分別為垂足，且滿足∠FPC=30°，求證：$\frac{1}{2}$BC=EF-PB．

Answer 1

分析 先征得△ABE≌△CAF，得到BE=AF，AE=CF，故EF=BE+CF，由∠FPC=30°，得到$\frac{1}{2}$PC=CF，$\frac{1}{2}$PB=BE，再根據線段的和差得到結論．

解答 證明：∵∠BAC=90°，且BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠EBA+∠BAE=∠BAE+∠CAF，
∴∠EBA=∠CAF；
在△ABE與△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠FAC}\\{∠AEB=∠CFA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴EF=BE+CF，
∴CF=EF-BE，
∵∠FPC=30°，
$\frac{1}{2}PB=BE$，
$\frac{1}{2}$PC=CF=EF-BE，
$\frac{1}{2}$PB+$\frac{1}{2}$BC=EF-BE，
∴BE+$\frac{1}{2}$BC=EF-BE，
$\frac{1}{2}$BC=EF-2BE，
∴$\frac{1}{2}$BC=EF-PB．

點評 該題主要考查了全等三角形的判定及其性質的應用問題，含30°直角三角形的性質，解題的關鍵是深入觀察圖形結構特點，準確找出圖形中隱含的相等或全等關系．