Question

如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，則四邊形ABCD的面積為

 

．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理

專題：

分析：以AD為邊作正△ADE，根據(jù)等邊三角形的性質可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，再求出∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=BD，然后求出∠CDE=90°，再利用勾股定理列式求出CD=4，過點A作AF⊥CD于F，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AF=

1

2

AD，利用勾股定理列式求DF，再求出CF，然后利用勾股定理列式求出AC²，然后根據(jù)S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD列式計算即可得解．

解答：解：如圖，以AD為邊作正△ADE，
∵△ABC也是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD=5，
∵∠CDE=∠ADE+∠ADC=60°+30°=90°，
∴CD=

CE2-DE2

=

52-32

=4，
過點A作AF⊥CD于F，∵∠ADC=30°，
∴AF=

1

2

AD=

3

2

，
由勾股定理得，DF=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

，
∴CF=CD-DF=4-

3 3

2

，
在Rt△ACF中，AC²=AF²+CF²=（

3

2

）²+（4-

3 3

2

）²=25-12

3

，
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD
=

1

2

×

3

2

×（25-12

3

）+

1

2

×4×

3

2

=

25 3

4

-9+3
=

25 3 -24

4

．
故答案為：

25 3 -24

4

．

點評：本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，難點在于作輔助線構造出等邊三角形和全等三角形．