Question

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（3，4）的拋物線交 y軸與A點，交x軸與B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），已知A點坐標為（0，－5）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線與點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C的位置關系，并給出證明．

（3）在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（１）∵拋物線的頂點為（3，4），∴可設此拋物線的解析式為：。

∵此拋物線過點A（0，－5），∴，解得。

∴此拋物線的解析式為：，即。

（２）此時拋物線的對稱軸與⊙C相離。證明如下：

令，即，得ｘ=1或ｘ=5，

∴B（1，0）,C（5，0）。

令ｘ=1，得，∴A（0，－5）。

如圖，過點C作CE⊥BD于點E，作拋物線的對稱軸交ｘ軸于點F，

∵AB⊥BD，∴∠ABO=90⁰－∠ABO=∠CBE。

∵∠AOB=∠BEC=90⁰，∴△AOB∽△BEC。

∴。

又∵OB=1，OA=5，∴根據(jù)勾股定理，得。

又∵BC=4，∴，即。

∵CF=2，∴，即。

∴拋物線的對稱軸與⊙C相離。

（3）存在。

假設存在滿足條件的點，

∵點在拋物線上，∴。

又，

，

。

①當∠A=90⁰時，在中，由勾股定理，得 ，

∴，整理，得。

∴，解得或，∴或。

∴點P為（7，－12）或（0，－5）（舍去）。

②當∠C=90⁰時，在中，由勾股定理，得，

∴，整理，得。

∴，解得或，∴或。

∴點P為（2，3）或（5，0）（舍去）。

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（7，－12）或（2，3）。

【解析】（1）由于已知拋物線的頂點為（3，4），故應用待定系數(shù)法，設頂點式求解。

（2）過點C作CE⊥BD于點E，應用△AOB∽△BEC求得CE的長，與點C到拋物線的對稱軸的距離比較即可。

（3）用點P的橫坐標表示三邊的長，分∠A=90⁰和∠C=90⁰兩種情況討論即可。