Question

如圖，已知：AB＞AC，
（1）若BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF，求證：AD是△ABC的中線；
（2）若AD是∠BAC的角平分線，BE⊥AD，CF⊥AD，求證：BD＞CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF，利用AAS，即可判定△EDB≌△DCF，則可證得BD=CD，即可得AD是△ABC的中線；
（2）由AD是∠BAC的角平分線，BE⊥AD，CF⊥AD，利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，易證得Rt△FAC∽Rt△EAB與Rt△FDC∽Rt△EDB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得與，又由AB＞AC，即可得BD＞CD．
解答：證明：（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF，
∴∠DBE=∠DCF，（1分）
在△EDB與△DCF中，
，
∴△EDB≌△DCF（AAS），（2分）
∴BD=CD，
即AD是△ABC的中線．            （3分）

（2）∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵AD是∠BAC的角平分線，
∴Rt△FAC∽Rt△EAB，（4分）
∴，
∵AB＞AC，
∴BE＞CF，
∵∠BDE=∠CDF，（5分）
∴Rt△FDC∽Rt△EDB，
∴，
∴BD＞CD．（6分）
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似與相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用．