Question

如圖，已知正方形OABC在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)．等腰直角三角板OEF的直角頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，E、F分別在OA、OC上，且OA=4，OE=2．將三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至OE₁F₁的位置，連接CF₁、AE₁．
（1）求證：△OAE₁≌△OCF₁；
（2）若三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，請求出此時E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到相等的線段，根據(jù)SAS定理證明；
（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必與OF垂直；在旋轉(zhuǎn)過程中，E、F的軌跡是以O(shè)為圓心，OE（或OF）長為半徑的圓，若CF⊥OF，那么CF必為⊙O的切線，且切點(diǎn)為F；可過C作⊙O的切線，那么這兩個切點(diǎn)都符合F點(diǎn)的要求，因此對應(yīng)的E點(diǎn)也有兩個；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可證得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的長，通過解直角三角形，不難得到E點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得解．
解答：解：（1）證明：
∵四邊形OABC為正方形，∴OC=OA．
∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE₁=OF₁．
又三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至OE₁F₁的位置時，∠AOE₁=∠COF₁，
∴△OAE₁≌△OCF₁．                                          （3分）

（2）存在．                                                  （4分）
∵OE⊥OF，
∴過點(diǎn)F與OE平行的直線有且只有一條，并與OF垂直，
當(dāng)三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周時，
則點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，以O(shè)F為半徑的圓上．                         （5分）
∴過點(diǎn)F與OF垂直的直線必是圓O的切線．
又點(diǎn)C是圓O外一點(diǎn)，過點(diǎn)C與圓O相切的直線有且只有2條，不妨設(shè)為CF₁和CF₂，
此時，E點(diǎn)分別在E₁點(diǎn)和E₂點(diǎn)，滿足CF₁∥OE₁，CF₂∥OE₂．             （7分）
當(dāng)切點(diǎn)F₁在第二象限時，點(diǎn)E₁在第一象限．
在直角三角形CF₁O中，OC=4，OF₁=2，
cos∠COF₁==，
∴∠COF₁=60°，∴∠AOE₁=60°．
∴點(diǎn)E₁的橫坐標(biāo)為：x_E1=2cos60°=1，
點(diǎn)E₁的縱坐標(biāo)為：y_E1=2sin60°=，
∴點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（1，）；（9分）
當(dāng)切點(diǎn)F₂在第一象限時，點(diǎn)E₂在第四象限．
同理可求：點(diǎn)E₂的坐標(biāo)為（1，-）．      （10分）
綜上所述，三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個位置，使得OE∥CF，
此時點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（1，）或E₂（1，-）．   （11分）
點(diǎn)評：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定以及解直角三角形等重要知識．能夠聯(lián)系圓的相關(guān)知識來解答（3）題是此題的一個難點(diǎn)．