已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，CE⊥AD，E為垂足，CE的延長線交AB于點(diǎn)F．求證：AC2=AB·AF．

 

答案：
解析：

證法一：連結(jié)BD、CＤ．如圖．

∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝∠ABD＝90°．

∵CE⊥AD于E，∴Rt△ACE∽Rt△ACＤ．

∴，即AC２=AE·AＤ．

在Rt△AEF和Rt△ABD中，∵∠ABD＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠BAD，

∴△AEF∽△ABD，∴，即AE·AD＝AF·AB．  ∴AC２＝AF·AB．

證法二：如圖7—64，延長CF交⊙O于G，連結(jié)AG、BG．

∵AD是⊙O的直徑，CG⊥AD，∴=．

∴AC＝AG，∠AGE＝∠GBA．

又∠FAG＝∠FAG．

∴△AGF∽△ABG．

∴，即AG２＝AF·AB，∴AC２＝AF·AB．

證法三：如圖7—65，延長CF交⊙O于G．

∵AD是⊙O的直徑，且CG⊥AD，

∴=．

∴∠B＝∠FCA．

又 ∠BAC＝∠FAC．

∴△ACF∽△ABC．

∴，即AC２＝AF·AB．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

17、已知，如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)M，AN平分∠DAC，交BC于點(diǎn)N．
求證：四邊形AMNE是菱形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，∠ABC、∠ACB 的平分線相交于點(diǎn)F，過F作DE∥BC于D，交AC 于E，且AB=6，AC=5，求三角形ADE的周長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC的延長線上，且BD=CE，DE交BC于F，求證：BF=CF+CE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點(diǎn)D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC，BD=DE，點(diǎn)E在AC的垂直平分線上．
（1）請問：AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（2）如果∠B=60°，請問BD和DC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

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