Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

m

x

(m＞0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC相交于點D、E．
（1）用含m的代數(shù)式表示四邊形ODBE的面積；
（2）若y關(guān)于x的函數(shù)y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的圖象與x軸只有一個交點，求四邊形ODBE的面積．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)點B（a，b），可得點M(

a

2

，

b

2

)，又由反比例函數(shù)y=

m

x

(m＞0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，可得ab=4m，然后由S_{四邊形ODBE}=S_矩形OABC-S_△OAD-S_△OCE，即可求得答案；
（2）分別從2m-1=0與2m-1≠0去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）設(shè)點B（a，b），則點M(

a

2

，

b

2

)，
∵反比例函數(shù)y=

m

x

(m＞0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，
∴

ab

4

=m，
∴ab=4m，
∴S_{四邊形ODBE}=S_矩形OABC-S_△OAD-S_△OCE=4m-

1

2

m-

1

2

m=3m；

（2）①當2m-1=0時，得m=

1

2

，
關(guān)于x的函數(shù)為一次函數(shù)：y=-3x+

7

2

，
此時圖象與x軸只有一個交點，且S_{四邊形ODBE}=3m=

3

2

；
②當2m-1≠0時，關(guān)于x的函數(shù)為二次函數(shù)，
∵y關(guān)于x的函數(shù)y=（2m-1）x²-2（m+1）x+m+3的圖象與x軸只有一個交點，
∴△=[-2（m+1）]²-4（2m-1）（m+3）=-4m²-12m+16=0，
解得：m=1或m=-4，
∵m＞0，
∴m=1，
∴此時S_{四邊形ODBE}=3m=3．
綜上可得：四邊形ODBE的面積為

3

2

或3．

點評：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．