Question

20．如圖，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延長線于M，連接DA，
（1）求$\frac{AB+BC}{BM}$的值；
（2）求$\frac{BC-BA}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）延長CD交BA的延長線于點(diǎn)F，證△BDF≌△BDC得BC=BF、CD=FD，由DM⊥AB知DM∥AC，進(jìn)而知AM=$\frac{1}{2}$AF，設(shè)AB=x，分別表示出BC、AM的長，代入計算即可；
（2）根據(jù)（1）中AB、BC、AM的長代入計算即可．

解答 解：如圖，延長CD交BA的延長線于點(diǎn)F，

（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠CBD，
∵CD⊥BE，
∴∠BDF=∠BDC=90°，
在△BDF和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠CBD}\\{BD=BD}\\{∠BDF=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△BDC（ASA），
∴BF=BC，DF=DC，
設(shè)AB=x，
∴BC=BF=$\sqrt{2}$x，AF=BF-BA=（$\sqrt{2}$-1）x，
又∵∠BAC=90°，DM⊥AB，
∴DM∥AC，
∵DF=DC，
∴AM=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}x$
故$\frac{AB+BC}{BM}$=$\frac{AB+BC}{AB+AM}$=$\frac{x+\sqrt{2}x}{x+\frac{\sqrt{2}-1}{2}x}$=2；
（2）由（1）知AB=x，BC=$\sqrt{2}x$，AM=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}x$，
故$\frac{BC-BA}{AM}$=$\frac{\sqrt{2}x-x}{\frac{\sqrt{2}-1}{2}x}$=2．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及三角形的中位線定理，構(gòu)建全等三角形并表示出各線段的長是解題關(guān)鍵．