Question

如圖，已知直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）記一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y₁，二次函數(shù)的函數(shù)值為y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范圍；

（3）在該拋物線上存在幾個(gè)點(diǎn)，使得每個(gè)點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形？并求出不少于3個(gè)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）A（0，0），B（2，2）。

（2）0＜x＜2。

（3）符號(hào)條件的點(diǎn)P有4個(gè)，

其中P₁（，），P₂（，），P₃（﹣2，2）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可以列出關(guān)于x、y的方程組，通過解方程組可以求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。

（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接回答問題；

（3）需要分類討論：以AB為腰和以AB為底的等腰三角形。

解：（1）如圖，∵直線y=x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，

∴，解得，或。

∴A（0，0），B（2，2）。

（2）由（1）知，A（0，0），B（2，2）．

∵一次函數(shù)y=x的函數(shù)值為y₁，二次函數(shù)的函數(shù)值為y₂，

∴當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，根據(jù)圖象可知x的取值范圍是：0＜x＜2。

（3）該拋物線上存在4個(gè)點(diǎn)，使得每個(gè)點(diǎn)與AB構(gòu)成的三角形為等腰三角形。理由如下：

∵A（0，0），B（2，2），∴B=。

根據(jù)題意，可設(shè)P（x，），

①當(dāng)PA=PB時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中垂線與拋物線的交點(diǎn)，

易求線段AB的中垂線的解析式為y=﹣x+2，

則，

解得，，。

∴P₁（，），P₂（，）。

②當(dāng)PA=AB時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，即P₃（﹣2，2）。

③當(dāng)AB=PB時(shí)，點(diǎn)P₄的位置如圖所示。

綜上所述，符號(hào)條件的點(diǎn)P有4個(gè)，

其中P₁（，），P₂（，），P₃（﹣2，2）。