Question

14．如圖1，2，3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形（等邊三角形）、正四邊形（正方形）、正五邊形，BE和CD相交于點O．

（1）在圖1中，求證：△ABE≌△ADC．
（2）由（1）證得△ABE≌△ADC，由此可推得在圖1中∠BOC=120°，請你探索在圖2中，∠BOC的度數(shù)，并說明理由或?qū)懗鲎C明過程．
（3）填空：在上述（1）（2）的基礎(chǔ)上可得在圖3中∠BOC=72°（填寫度數(shù)）．
（4）由此推廣到一般情形（如圖4），分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正n邊形，BE和CD仍相交于點O，猜想得∠BOC的度數(shù)為$\frac{360°}{n}$（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形證明AB=AD，AC=AE，再利用等式性質(zhì)得∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS得出△ABE≌△ADC；
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)證明△ABE≌△ADC，得∠BEA=∠DCA，再由正方形ACEG的內(nèi)角∠EAC=90°和三角形外角和定理得∠BOC=90°；
（3）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)證明：△ADC≌△ABE，再計算五邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為108°，由三角形外角定理求出∠BOC=72°；
（4）根據(jù)正n邊形的性質(zhì)證明：△ADC≌△ABE，再計算n邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為180°-$\frac{360°}{n}$，由三角形外角定理求出∠BOC=$\frac{360°}{n}$．

解答 證明：（1）如圖1，∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
∴△ABE≌△ADC；
（2）如圖2，∠BOC=90°，理由是：
∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∴△ADC≌△ABE，
∴∠BEA=∠DCA，
∵∠EAC=90°，
∴∠AMC+∠DCA=90°，
∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA，
∴∠BOC=90°；
（3）如圖3，同理得：△ADC≌△ABE，
∴∠BEM=∠DCA，
∵∠BOC=∠BEM+∠OME=∠DCA+∠AMC，
∵正五邊形ACIGE，
∴∠EAC=180°-$\frac{360}{5}$=108°，
∴∠DCA+∠AMC=72°，
∴∠BOC=72°；
故答案為：72°；
（4）如圖4，∠BOC的度數(shù)為$\frac{360•}{n}$，理由是：
同理得：△ADC≌△ABE，
∴∠BEA=∠DCA，
∵∠BOC=∠BEA+∠OME=∠DCA+∠AMC，
∵正n邊形AC…E，
∴∠EAC=180°-$\frac{360°}{n}$，
∴∠DCA+∠AMC=180°-（180-$\frac{360}{n}$）°，
∴∠BOC=$\frac{360°}{n}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形、等邊三角形、正四邊形等圖形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用正n邊形各邊相等證明兩三角形全等，運用了類比的方法，同時還要熟練掌握正n邊形每一個內(nèi)角的求法：可以利用外角和求，也可以利用內(nèi)角和求；根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和列式并綜合對頂角相等分別得出結(jié)論．