Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C與AD交于點E，AD的延長線與A'D'交于點F．

（1）如圖①，當α=60°時，連接DD'，求DD'和A'F的長；

（2）如圖②，當矩形A'B'CD'的頂點A'落在CD的延長線上時，求EF的長；
（3）如圖③，當AE=EF時，連接AC，CF，求ACCF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖①中，∵矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉α角，得到矩形A'B'C'D'，

∴A′D′=AD=B′C=BC=4，CD′=CD=A′B′=AB=3∠A′D′C=∠ADC=90°，

∵α=60°，

∴∠DCD′=60°，

∴△CDD′是等邊三角形，

∴DD′=CD=3．

②如圖①中，連接CF．

∵CD=CD′，CF=CF，∠CDF=∠CD′F=90°，

∴△CDF≌△CD′F，

∴∠DCF=∠D′CF= ∠DCD′=30°，

在Rt△CD′F中，∵tan∠D′CF= ，

∴D′F= ，

∴A′F=A′D′﹣D′F=4﹣ ．

（2）

解：如圖②中，

在Rt△A′CD′中，∵∠D′=90°，

∴A′C2=A′D′2+CD′2，

∴A′C=5，A′D=2，

∵∠DA′F=∠CA′D′，∠A′DF=∠D′=90°，

∴△A′DF∽△A′D′C，

∴ = ，

∴ = ，

∴DF= ，

同理可得△CDE∽△CB′A′，

∴ = ，

∴ = ，

∴ED= ，

∴EF=ED+DF= ．

（3）

解：如圖③中，作FG⊥CB′于G．

∵四邊形A′B′CD′是矩形，

∴GF=CD′=CD=3，

∵S△CEF= EFDC= CEFG，

∴CE=EF，∵AE=EF，

∴AE=EF=CE，

∴∠ACF=90°，

∵∠ADC=∠ACF，∠CAD=∠FAC，

∴△CAD∽△FAC，

∴ = ，

∴AC2=ADAF，

∴AF= ，

∵S△ACF= ACCF= AFCD，

∴ACCF=AFCD= ．

【解析】（1）①如圖①中，∵矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉α角，得到矩形A'B'C'D'，只要證明△CDD′是等邊三角形即可解決問題；②如圖①中，連接CF，在Rt△CD′F中，求出FD′即可解決問題；（2）由△A′DF∽△A′D′C，可得 = ，推出DF= ，同理可得△CDE∽△CB′A′，由 = ，求出DE，即可解決問題；（3）如圖③中，作FG⊥CB′于G，由S△ACF= ACCF= AFCD，把問題轉化為求AFCD，只要證明∠ACF=90°，證明△CAD∽△FAC，即可解決問題；
【考點精析】利用相似三角形的應用和旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．