Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）圖象的頂點(diǎn)為D，其圖象與x軸的交于點(diǎn)A、B，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且方程ax²+bx+c=0的兩根是-1和3．在下面結(jié)論中：
①abc＞0；②a+b+c＜0；③c+3a=0；④若點(diǎn)M（

2

，m）在此拋物線上，則m小于c．正確的個數(shù)是（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：先根據(jù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3確定出AB的長及對稱軸，再由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．

解答：解：①∵方程ax²+bx+c=0的兩根是-1和3，
∴圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為-1，3，
∴對稱軸x=-

b

2a

=1，
∵拋物線的開口方向向上，
∴a＞0，
∴b＜0
∵拋物線交于y軸負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0．故選項正確；
②∵對稱軸x=1，
∴由圖象可知當(dāng)x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0．故選項正確；
③∵對稱軸x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
∴二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）圖象于x的一個交點(diǎn)為（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，
即3a+c=0，故選項正確；
④∵對稱軸x=1，
∴C（0，c）與對稱軸的距離為1，
∵點(diǎn)M（

2

，m），
∴

2

-1＜1，
∴M與對稱軸的距離小于1，
∵拋物線的開口方向向上，
∴m小于c．故選項正確；
故選D．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax²+bx+c系數(shù)符號的確定：
（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；
（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=-

b

2a

判斷符號；
（3）c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定：交點(diǎn)在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；
（4）b²-4ac由拋物線與x軸交點(diǎn)的個數(shù)確定：
①2個交點(diǎn)，b²-4ac＞0；②1個交點(diǎn)，b²-4ac=0；③沒有交點(diǎn)，b²-4ac＜0．