Question

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在CD和DA上，且∠CBF=∠EFB
（1）小方同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，tan∠ABF=

1

3

，當(dāng)DE=

1

3

CD時(shí)，tan∠ABF=

1

5

，當(dāng)DE=

1

4

CD時(shí)，tan∠ABF=

1

7

，那么當(dāng)DE=

1

5

CD時(shí)，tan∠ABF=

 

．
（2）如圖2，當(dāng)DE=

1

k+1

CD時(shí)，tan∠ABF=

 

．證明你的猜測(cè)的正確性．

Answer 1

分析：（1）觀察題干給出的信息可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)DE=

1

n

CD時(shí)，tan∠ABF=

1

n+(n-1)

，根據(jù)此規(guī)律即可求得當(dāng)DE=

1

5

CD時(shí)，tan∠ABF的值；
（2）作BM⊥EF于點(diǎn)M，連接BE．分別求證△AFB≌△MFB，△BCE≌△BME，得出AF=FM，AB=BM，EC=EM，
然后設(shè)DE=1，F(xiàn)M=a，利用勾股定理即可求得答案．

解答：解：（1）當(dāng)E為CD的中點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)DE=

1

2

CD時(shí)，tan∠ABF=

1

3

=

1

2+1

；
當(dāng)DE=

1

3

CD時(shí)，tan∠ABF=

1

5

=

1

3+2

；
當(dāng)DE=

1

4

CD時(shí)，tan∠ABF=

1

7

=

1

4+3

；
…
可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)DE=

1

n

CD時(shí)，tan∠ABF=

1

n+(n-1)

；

那么當(dāng)DE=

1

5

CD時(shí)，tan∠ABF=

1

5+(5-1)

=

1

9

．
故答案為：

1

9

．

（2）

1

2k+1

．
作BM⊥EF于點(diǎn)M，連接BE．
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
又∠EFB=∠FBC，
∴∠AFB=∠BFM，
∠A=∠FMB=90°，BF=BF，
∴△AFB≌△MFB，
∴AF=FM，AB=BM，
∵BM=AB=BC，∠BME=∠C=90°，BE=BE
∴△BCE≌△BME，
∴EC=EM，
設(shè)DE=1，F(xiàn)M=a，則CE=k，
則FD=1+k-a，ME=CE=k
勾股定理得：DE²+FD²=EF²，
∴1²+（1+k-a）²=（a+k）²
解得：a=

k+1

2k+1

∴tan∠ABF=

a

k+1

=

1

2k+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義的理解和掌握，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，有一定的拔高難度，是一道難題．第（1）題的解答關(guān)鍵是通過觀察題目給出的信息總結(jié)歸納出規(guī)律；第（2）題的解答關(guān)鍵是關(guān)鍵是作好輔助線．