Question

(滿分l3分)如圖，對(duì)稱軸為直線x=一的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-6，0)和點(diǎn)B(0，4)．

(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)E(x，y)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于第三象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求□OEAF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
①當(dāng)□OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷□OEAF是否為菱形?
②是否存在點(diǎn)E，使□OEAF為正方形?若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+)²+k(k≠0)，          ……1分
則依題意得： a+k="0                                     " ……3分
a+k="4         "
解之得：   a=，                                          ……4分
k=-
即：y=(x+) ²-，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-，-)．              ……5分
(2) ∵點(diǎn)E(x，y)在拋物線上，且位于第三象限．
∴S=2S_△OAE=2××0A×(-y)
="-6y   "
=-4(x+)²+25(-6<x<-1)．                                ……8分
① 當(dāng)S=24時(shí)，即-4(x+)²+25=24，
解之得：x₁=-3,x₂=-4
∴點(diǎn)E為(-3，-4)或(-4，-4)
當(dāng)點(diǎn)E為(-3，-4)時(shí)，滿足OE=AE，故□OEAF是菱形；當(dāng)點(diǎn)E為(-4，-4)時(shí)，不滿足OE=AE，故□OEAF不是菱形．                                       ……12分
②當(dāng)0E⊥AE且OE=AE時(shí)，□OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-3，-3)，而點(diǎn)E不在拋物線上，故不存在點(diǎn)E，使□OEAF為正方形。                 ……13分

解析