Question

如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AE是⊙O的直徑．點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，且AC平分∠PAE，過C作CD⊥PA，垂足為D.

1.求證：CD為⊙O的切線；

2.若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AB的長(zhǎng).

 

Answer 1

【答案】

 

1.證明：連接OC,

∵OA=OC,

∴∠OCA=∠OAC.

∵CD⊥PA，

∴∠CDA=90°，

∴∠CAD+∠DCA=90°，

∵AC平分∠PAE，

∴∠DAC=∠CAO.………………1分

∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.

∴CD為⊙O的切線． …………………………2分

2.解：過O作OF⊥AB，垂足為F，

∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，

∴四邊形OCDF為矩形，

∴OC=FD，OF=CD.

∵DC+DA=6，設(shè)AD=x，則OF=CD=6-x， ……………………3分

∵⊙O的直徑為10，

∴DF=OC=5，∴AF=5-x，

在Rt△AOF中，由勾股定理得.

即，化簡(jiǎn)得：

解得或（舍）. ………………………4分

∴AD=2, AF=5-2=3.

∵OF⊥AB，

AB=2AF=6. ………………………..5分

【解析】（1）證明∠DCO=90°即可求得CD為⊙O的切線，

（2）過O作OF⊥AB，構(gòu)建一個(gè)矩形，利用勾股定理求得相關(guān)線段，從而求得AB的長(zhǎng)。