Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CD⊥AB，垂足為E，∠POC＝∠PCE．

(1)求證：PC是⊙O的切線；

(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半徑；

(3)在(2)的條件下，求sin∠PCA的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在△OCP和△CEP中， 　　∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE， 　　∴△COP∽△ECP， 　　∴∠OCP＝∠CEP． 　　∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°， 　　∴∠OCP＝90°，∴PC為⊙O的切線． 　　(2)設(shè)OE＝x，則EA＝2x，OA＝OC－3x． 　　∵∠COP＝∠PCE，∴sin∠OPC＝sin∠OCE， 　　即＝，解得x＝1，∴OA＝3． 　　(3)∵∠OCP＝90°，∴∠PCA＋∠ACO＝90°， 　　∴sin∠PCA＝cos∠ACO． 　　又OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO， 　　∴sin∠PCA＝cos∠CAO．而AE＝2，OE＝1，OC＝3， 　　∴AC＝－2． 　　而cos∠CAO＝＝＝，即sin∠PCA＝． 　　思路點(diǎn)撥：(1)要證切線PC，仍是先證PC⊥OC． 　　(2)要求半徑，可以求OA，先求OE，這可以在Rt△PCO中，利用∠POC＝∠PCE，列出有關(guān)方程求解． 　　(3)求sin∠PCA，先求sin∠ACE＝． 　　評(píng)注：①本題主要考查切線的判定定理，同時(shí)考查了三角函數(shù)的概念、垂徑定理、勾股定理及轉(zhuǎn)化思想、方程思想，是一道比較好的綜合題． 　�、趯�(duì)于(3)中sin∠PCA的轉(zhuǎn)化，還可以利用弦切角定理轉(zhuǎn)化成sin∠ACE，這將會(huì)在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)到．