Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分別是三邊上的中線．
（1）若AC=1，BC=

2

．求證：AD²+CF²=BE²；
（2）是否存在這樣的Rt△ABC，使得它三邊上的中線AD、BE、CF的長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（提示：滿足關(guān)系a²+b²=c²的3個(gè)正整數(shù)a、b、c稱(chēng)為勾股數(shù)．）

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,勾股數(shù)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接FD，根據(jù)三角形中線的定義求出CD、CE，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得FD=

1

2

AC，然后分別利用勾股定理列式求出AD²、CF²、BE²即可得證；
（2）設(shè)兩直角邊分別為a、b，根據(jù)（1）的思路求出AD²、CF²、BE²，再根據(jù)勾股定理列出方程表示出a、b的關(guān)系，然后用a表示出AD、CF、BE，再進(jìn)行判斷即可．

解答：（1）證明：如圖，連接FD，
∵AD、BE、CF分別是三邊上的中線，
∴CD=

1

2

BC=

2

2

，CE=

1

2

AC=

1

2

，
FD=

1

2

AC=

1

2

，
由勾股定理得，AD²=AC²+CD²=1²+（

2

2

）²=

3

2

，
CF²=CD²+FD²=（

2

2

）²+（

1

2

）²=

3

4

，
BE²=BC²+CE²=（

2

）²+（

1

2

）²=

9

4

，
∵

3

2

+

3

4

=

9

4

，
∴AD²+CF²=BE²；

（2）解：設(shè)兩直角邊分別為a、b，
∵AD、BE、CF分別是三邊上的中線，
∴CD=

1

2

a，CE=

1

2

b，
FD=

1

2

AC=

1

2

a，
由勾股定理得，AD²=AC²+CD²=b²+（

1

2

a）²=

1

4

a²+b²，
CF²=CD²+FD²=（

1

2

a）²+（

1

2

b）²=

1

4

a²+

1

4

b²，
BE²=BC²+CE²=a²+（

1

2

b）²=a²+

1

4

b²，
∵AD²+CF²=BE²，
∴

1

4

a²+b²+

1

4

a²+

1

4

b²=a²+

1

4

b²，
整理得，a²=2b²，
∴AD=

6

2

b，
CF=

3

2

b，
BE=

3

2

b，
∴CF：AD：BE=1：

2

：

3

，
∵沒(méi)有整數(shù)是

2

和

3

的倍數(shù)，
∴不存在這樣的Rt△ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，用兩條直角邊分別表示出三條中線的平方是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．