Question

在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)）,與軸交于點(diǎn)C.過動(dòng)點(diǎn)H（0, ）作平行于軸的直線,直線與二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)D,E.

（1）寫出點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);

（2）若,以DE為直徑作⊙Q,當(dāng)⊙Q與軸相切時(shí),求的值;

（3）直線上是否存在一點(diǎn)F,使得△ACF是等腰直角三角形?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：（1）當(dāng)=0時(shí)，有，解之得：，，∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）和（－1，0）.

（2）∵⊙Q與軸相切，且與交于D、E兩點(diǎn)，

∴圓心O位于直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)處，且⊙Q的半徑為H點(diǎn)的縱坐標(biāo)（）

∵拋物線的對(duì)稱軸為，

∴D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（－，），（＋，）且均在二次函數(shù)的圖像上，

∵，解得或（不合題意，舍去）

（3）存在.

①當(dāng)∠ACF=90°，AC=FC時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥軸于G，∴∠AOC=∠CGF=90°，

∵∠ACO+∠FCG=90°，∠GFC+∠FCG=90°，∴∠ACO=∠CFG，∴△ACO≌△∠CFG，∴CG=AO=4，

∵CO=2，∴=OG=2+4=6；

②當(dāng)∠CAF=90°，AC=AF時(shí)，過點(diǎn)F作FP⊥軸于P，∴∠AOC=∠APF=90°，

∵∠ACO+∠OAC=90°，∠FAP+∠OAC=90°，∴∠ACO=∠FAP，∴△ACO≌△∠FAP，∴FP =AO=4，

∴=FP =4；

③當(dāng)∠AFC=90°，F(xiàn)A=FC時(shí)，則F點(diǎn)一定在AC的中垂線上，此時(shí)=3或=1