Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，線段AB在直線l₁上，BC垂直于l₁交l₂于點(diǎn)C，且AB=BC，P是線段BC上異于兩端點(diǎn)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線分別交l₂、l₁于點(diǎn)D、E（點(diǎn)A、E位于點(diǎn)B的兩側(cè)），滿足BP=BE，連接AP、CE．
（1）求證：△ABP≌△CBE；
（2）連結(jié)AD、BD，BD與AP相交于點(diǎn)F．如圖2．
①當(dāng)

BC

BP

=2時(shí)，求證：AP⊥BD；
②當(dāng)

BC

BP

=n（n＞1）時(shí)，設(shè)△PAD的面積為S₁，△PCE的面積為S₂，求

S1

S2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）求出∠ABP=∠CBE，根據(jù)SAS推出即可；
（2）①延長(zhǎng)AP交CE于點(diǎn)H，求出AP⊥CE，證出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四邊形BDCE，推出CE∥BD即可；
②分別用S表示出△PAD和△PCE的面積，代入求出即可．

解答：（1）證明：∵BC⊥直線l₁，
∴∠ABP=∠CBE，
在△ABP和△CBE中

AB=BC ∠ABP=∠CBE BP=BE

∴△ABP≌△CBE（SAS）；

（2）①證明：連結(jié)BD，延長(zhǎng)AP交CE于點(diǎn)H，
∵△ABP≌△CBE，
∴∠APB=∠CEB，
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB+∠CEB=90°，
∴AH⊥CE，
∵

BC

BP

=2，即P為BC的中點(diǎn)，直線l₁∥直線l₂，
∴△CPD∽△BPE，
∴

DP

PE

=

CP

BP

=

1

1

，
∴DP=PE，
∴四邊形BDCE是平行四邊形，
∴CE∥BD，
∵AH⊥CE，
∴AP⊥BD；

②解：∵

BC

BP

=n，
∴BC=n•BP，
∴CP=（n-1）•BP，
∵CD∥BE，
易得△CPD∽△BPE，
∴

PD

PE

=

PC

PB

=n-1，
設(shè)△PBE的面積S_△PBE=S，則△PCE的面積S_△PCE滿足

S△PCE

S△PBE

=

PC

PB

=n-1，
即S₂=（n-1）S，
∵S_△PAB=S_△BCE=n•S，
∴S_△PAE=（n+1）•S，
∵

S△PAD

S△PAE

=

PD

PE

=n-1，
∴S₁=（n-1）•S_△PAE，即S₁=（n+1）（n-1）•S，
∴

S1

S2

=

(n+1)(n-1)S

(n-1)S

=n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力，題目比較好，有一定的難度．