Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在梯形的頂點(diǎn)C上，使三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，線段DE與BF的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是______；
（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜90°）．請你在圖2中畫出圖形，并判斷（1）中結(jié)論還成立嗎？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

解：（1）垂直，相等；

（2）畫圖如右圖（答案不唯一）

（1）中結(jié)論仍成立．
證明如下：
過A作AM⊥DC于M，
則四邊形ABCM為矩形．
∴AM=BC=2，MC=AB=1．
∵tan∠ADC=2，
∴DM==1．
∴DC=BC．
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF=90°，CE=CF，
∵∠BCD=∠ECF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∴△DCE≌△BCF（SAS），
∴DE=BF，∠1=∠2，
又∵∠3=∠4，
∴∠5=∠BCD=90°，
∴DE⊥BF，
∴線段DE和BF相等且互相垂直．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證得△DCE≌△BCF，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可證得線段DE與BF的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是垂直，相等；
（2）首先過A作AM⊥DC于M，則四邊形ABCM為矩形．由tan∠ADC=2，即可證得△CEF是等腰直角三角形，即可證得△DCE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證得線段DE和BF相等且互相垂直．
點(diǎn)評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．