Question

（2013•懷柔區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程kx²+（3k+1）x+3=0．
（1）求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若二次函數(shù)y=kx²+（3k+1）x+3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，求k值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）只有一個(gè)公共點(diǎn)，求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分k=0時(shí)，方程為一元一次方程，有解，k≠0時(shí)，表示出根的判別式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷出△≥0，得到一定有實(shí)數(shù)根；
（2）令y=0，解關(guān)于x一元二次方程，求出二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)求出k值為1；
（3）先根據(jù)（2）中的k值寫(xiě)出二次函數(shù)解析式并整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后寫(xiě)出直線OP的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，

1

2

h），然后寫(xiě)出拋物線的頂點(diǎn)式形式為y=（x-h）²+

1

2

h，再分①拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線求出h的值，再根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出h的取值范圍；②直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線解析式消掉未知數(shù)y，利用根的判別式△=0列式求出h的值，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得解．

解答：（1）證明：①當(dāng)k=0時(shí)，方程為x+3=0，所以x=-3，方程有實(shí)數(shù)根，
②當(dāng)k≠0時(shí)，△=（3k+1）²-4k•3，
=9k²+6k+1-12k，
=9k²-6k+1，
=（3k-1）²≥0，
所以，方程有實(shí)數(shù)根，
綜上所述，無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）令y=0，則kx²+（3k+1）x+3=0，
解關(guān)于x的一元二次方程，得x₁=-3，x₂=-

1

k

，
∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，
∴k=1；

（3）由（2）得拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1，
∴拋物線的頂點(diǎn)M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=

1

2

x，
于是設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，

1

2

h），
∴平移后的拋物線解析式為y=（x-h）²+

1

2

h，
①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，令x=0，則y=9，
∴C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9，
解得h=

-1± 145

4

，
∴當(dāng) 

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

時(shí)，平移后的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)；
②當(dāng)拋物線與直線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，
由方程組

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
消掉y得，x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此時(shí)拋物線y=（x-4）²+2與射線CD唯一的公共點(diǎn)為（3，3），符合題意，
綜上所述：平移后的拋物線與射線CD只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍是h=4或

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了根的判別式，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，（3）根據(jù)CD是射線，要分情況討論．