Question

19．如圖，以AB為直徑作半圓O，點(diǎn)C為半圓上與A，B不重合的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于BC對稱，BE與半圓交于點(diǎn)F，連CE．
（1）判斷CE與半圓O的位置關(guān)系，并給予證明．
（2）點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCFB的形狀可變?yōu)榱庑螁�？若可以，猜想此時(shí)∠AOC的大小，并證明你的結(jié)論；若不可以，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）CE是圓O的切線．欲證明CE是圓O的切線，只需推知∠OCE=90°即可；
（2）可以，此時(shí)∠AOC=60°．根據(jù)已知條件可以推知△COF與△BOF為等邊三角形，則四邊形OCFB的四條邊相等：OC=CF=FB=OB，故四邊形OCFB是菱形．

解答 （1）解：CE是圓O的切線．理由如下：
連接OC，則OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于BC對稱，
∴∠BCE=∠BCD．
又CD⊥AB，
∴∠BCD+∠OBC=∠BCE+∠OCB=90°，即∠OCE=90°，
又∵點(diǎn)C在半圓O上，
∴CE是圓O的切線．

（2）解：可以，此時(shí)∠AOC=60°．理由如下：
連接OF．
∵∠AOC=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于BC對稱，
∴∠CBF=∠OBC=30°，
∴∠COF=60°，
∴∠OBF=60°，
∵OC=OF=OB，
∴△COF與△BOF為等邊三角形，
∴OC=CF=FB=OB，
∴四邊形OCFB是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，菱形的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．