Question

如圖，?ABCD在平面直角坐標系中，AD=6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．
（1）求AB的長；
（2）求CD的所在直線的函數(shù)關系式；
（3）若動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿B→A方向運動，過P作x軸的垂線交x軸于點E，若S_△PBE=

1

3

S△ABO，求此時點P的坐標．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先解方程求得OA和OB的長，然后利用勾股定理求得AB的長即可；
（2）首先求得點A和點B的坐標，然后平移得到點C和點D的坐標，利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式即可；
（3）根據(jù)PE∥AO得到△BPE∽△BAO，利用S_△PBE=

1

3

S△ABO得到相似比為

1 3

=

3

3

，從而列式

BE

BO

=

PE

AO

=

3

3

求得BE=

3

，PE=

4 3

3

，然后求得EO=BO-BE=3-

3

后即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）方程x²-7x+12=0可因式分解為（x-3）（x-4）=0，
解得：x=3或x=4，
∵OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

OA2+OB2

=5；

（2）∵OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（-3，0），
∵AD=BC=6，
∴C（3，0），D（6，4），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
∴

3k+b=0 6k+b=4

解得：k=

4

3

，b=-4，
∴直線CD的解析式為y=

4

3

x-4；

（3）∵PE⊥x軸，
∴PE∥AO，
∴△BPE∽△BAO，
∵S_△PBE=

1

3

S△ABO，
∴相似比為

1 3

=

3

3

，
∴

BE

BO

=

PE

AO

=

3

3

，
即：

BE

3

=

PE

4

=

3

3

，
∴BE=

3

，PE=

4 3

3

，
∴EO=BO-BE=3-

3

∴點P的坐標為（

3

-3，

4 3

3

）；

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識，題目中多次進行了點的坐標和線段的長的轉(zhuǎn)化，這是解決本題的關鍵，難度中等偏上．