Question

（本小題滿分10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是圓上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D．

（1）當點P在什么位置時，DP是⊙O的切線?請說明理由；

（2）當DP為⊙O的切線時，求線段DP的長．

Answer 1

（1）當點P是的中點時，DP是⊙O的切線；（2）DP=．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意猜想當點P是的中點時，DP是⊙O的切線，因為DP∥BC，所以只需要證明PA⊥BC，可得DP⊥PA，而在△ABC中利用三線合一可證PA⊥BC；（2）連接OB，設PA交BC于點E．在RtΔABE和RtΔOBE中，由勾股定理，可求AE和⊙O的半徑的長，然后證明ΔABE∽ΔADP，利用相似三角形的性質(zhì)可得DP=．

試題解析：【解析】
（1）當點P是的中點時，DP是⊙O的切線． （1分）

理由如下：

連接AP，∵AB=AC，∴=．

又∵=，∴=．

∴PA是⊙O的直徑． （2分）

∵=，∴∠1=∠2．

又∵AB=AC，∴PA⊥BC． （3分）

又∵DP∥BC，∴DP⊥PA．

∴DP是⊙O的切線． （4分）

（2）連接OB，設PA交BC于點E．

由垂徑定理，得BE=EC=6． （5分）

在RtΔABE中，由勾股定理，

得AE===8． （6分）

設⊙O的半徑為r，則OE=8-r，

在RtΔOBE中，由勾股定理，

得，解得r=． （8分）

∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D．

又∵∠1=∠1，∴ΔABE∽ΔADP，

∴，即，解得DP=． （10分）

考點：1.切線的判定；2.勾股定理；3.相似三角形的判定與性質(zhì).