Question

6．如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．求證：$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義證明△ABC∽△BDC，根據(jù)黃金分割的概念計(jì)算即可．

解答 解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：DC=AC：BC，
∴AD：DC=AC：AD，
∴點(diǎn)D為AC的黃金分割點(diǎn)，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查考查的是黃金分割的概念、相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫做黃金比．