Question

如圖，等邊三角形ABC中，AB=4，點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合，但不與點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F，過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，設(shè)BP=x，AQ=y．
（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)BP的長(zhǎng)等于多少時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；
（3）用x的代數(shù)式表示PQ的長(zhǎng)（不必寫出解題過(guò)程）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)BP=x，利用等邊三角形中，三個(gè)角均為60°，三邊長(zhǎng)相等，逐步求出BE，EC，CF，AF的長(zhǎng)，利用△BEP∽△AQF，對(duì)應(yīng)邊成比例，求出AP與AQ之間的關(guān)系；
（2）點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，有AQ+AP=AB，代入關(guān)系式求解，
（3）根據(jù)題意及（1）（2）即可推理得出答案．

解答：解：（1）PE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)Q⊥AB，
∠A=∠B=∠C=60°，設(shè)BP=x，
∴BE=

x

2

，EC=4-

x

2

，CF=2-

x

4

，
AF=4-2+

x

4

=2+

x

4

，
∵△BEP∽△AQF，
∴

AF

BP

=

AQ

BE

，
∴AQ=1+

x

8

，
∴y=1+

x

8

（0＜x≤4）；

（2）當(dāng)x+y=4，x+1+

x

8

=4，
∴

9

8

x=3，
∴x=

8

3

，
故BP為

8

3

時(shí)，P與Q重合；

（3）PQ=3-

9

8

x(0＜x≤

8

3

)，
PQ=

9

8

x-3(

8

3

＜x≤4)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用銳角三角函數(shù)的概念，逐步找到x與y關(guān)系，同時(shí)考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，比較綜合，難度較大．