Question

15．在△ABC中，以AC為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D，E為弧AD上一點(diǎn)，∠DEC=∠EBC，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G．
（1）如圖1，求證：∠BFC=90°；
（2）如圖2，連接AG，當(dāng)AG∥BC時(shí)，求證：AG=DC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AD交EG于點(diǎn)H，當(dāng)FH：HE=1：2，且AF=$\sqrt{3}$，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由AC是⊙O的直徑知∠DAC+∠ACD=90°，又由∠DEC=∠DAC=∠EBC可得∠EBC+∠ACD=90°，即∠BFC=90°；
（2）連接AD、GC，由AC是⊙O的直徑可得∠ADC=∠AGC=90°，根據(jù)AG∥BC證得四邊形GADC是矩形，故AG=DC；
（3）根據(jù)FH：HE=1：2，可設(shè)FH=a、HE=2a，由∠BFC=90°知FG=FE=3a且∠HAF+∠AHF=90°，又由∠HAF+∠FAG=90°可得∠AHF=∠FAG，則有$\frac{AF}{HF}=\frac{FG}{AF}$，根據(jù)比例式求得a的值，進(jìn)而知HF=1、EH=2、FG=3、GH=4，由∠ACE=∠AGE=∠EBC=∠DEC得∠DEC=∠ACE，故DE∥AC，即$\frac{AH}{DH}=\frac{HF}{HE}$，又由$\frac{AH}{DH}=\frac{GH}{BH}$，可得$\frac{GH}{BH}=\frac{HF}{HE}=\frac{1}{2}$，據(jù)此可得HB的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）如圖1，連接AD，

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵$\widehat{DC}=\widehat{DC}$，
∴∠DEC=∠DAC，
又∵∠DEC=∠EBC，
∴∠DAC=∠EBC，
∴∠EBC+∠ACD=90°，
∴∠BFC=90°；
（2）如圖2，連接AD、GC，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
∵AG∥BC，
∴∠GAD+∠ADC=180°，
∴∠GAD=90°，即∠GAD=∠ADC=∠CGA=90°，
∴四邊形GADC是矩形，
∴AG=DC；
（3）∵FH：HE=1：2，
∴設(shè)FH=a（a＞0），則HE=2a，
由（1）知∠BFC=90°，
∴OF⊥EG于點(diǎn)F，∠HAF+∠AHF=90°，
∴FG=FE=3a，
由（2）知∠HAF+∠FAG=90°，
∴∠AHF=∠FAG，
∴tan∠AHF=tan∠FAG，
∴$\frac{AF}{HF}=\frac{FG}{AF}$，
∴AF²=HF•FG，
∴（$\sqrt{3}$）²=a•3a，
∴3a²=3，
∵a＞0，
∴a=1，
∴HF=1，EH=2，F(xiàn)G=3，
∴GH=4，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AE}$，
∴∠ACE=∠AGE，
∵AG∥BC，
∴∠AGE=∠EBC，
又∵∠EBC=∠DEC，
∴∠DEC=∠ACE，
∴DE∥AC，
∴$\frac{AH}{DH}=\frac{HF}{HE}$，
∵AG∥BC，
又∵GH=4，
∴HB=8，
∴BE=BH-HE=8-2=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、線段的比等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)角與角間的轉(zhuǎn)換得出線段平行，從而根據(jù)平行得到線段的比求出長(zhǎng)度是關(guān)鍵．