Question

【題目】如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．

（1）求證：△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；

（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．試說明這種作法的依據(jù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BMC =120°；∠AMB =120°；∠AMC=120°；（3）線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

【解析】

(1)結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB；

(2)連接MN，由(1)的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；

(3)根據(jù)(2)中費(fèi)馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上，因此線段EC和BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

（1）證明：∵△ABE為等邊三角形，

∴AB=BE，∠ABE=60°．

而∠MBN=60°，

∴∠ABM=∠EBN．

在△AMB與△ENB中，

∵

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

（2）連接MN．

由（1）知，AM=EN．

∵∠MBN=60°，BM=BN，

∴△BMN為等邊三角形．

∴BM=MN．

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．

∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最�。�

此時(shí)，∠BMC=180°﹣∠NMB=120°；

∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°；

∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°．

（3）由（2）知，△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上．

因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

故答案為：（1）見解析；（2）∠BMC =120°；∠AMB =120°；∠AMC=120°；（3）線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．